资料分析四大速算技巧（一）

适用表格:

比较两个分数时，如果一个分数的分子和分母只比另一个分数大一点点，用“直接除法”和“恒等法”往往难以比较大小关系，而用“差法”可以很好地解决这个问题。

基本定义:

在满足“适用形式”的两个分数中，我们将分子分母较大的分数定义为“大分数”，分子分母较小的分数定义为“小分数”，将这两个分数的分子分母之差得到的新分数定义为“差分数”。例如，324/53.1与313/51.7相比较，其中324/53.1是“大分数”，313/51.7是“小分数”，324-313/53.1-51.7=11/1.4是“差分数”。

“差异法”使用基本标准-

“差分”代替“大分”与“小分”的比较；

1.差分大于小分的，大分大于小分；

2.如果差分值小于小分值，则大分值小于小分值；

3.差分等于小分，大分等于小分。

比如上面的文字“11/1.4代替324/53.1，与313/51.7比较”，因为11/1.4 > 313/51.7(可以简单地用“直除”或“同态”得到)，所以324/53.1 > 313/51.7。

特别注意:

第一，“差分法”本身是一种“精确算法”而非“估算法”，得到的尺寸关系是精确的而非粗糙的；

二、“差法”和“同法”经常一起使用，“同法后差法”和“差法后同法”是数据分析和快速计算中经常遇到的两种情况。

第三，“差分法”在比较“差分”和“小分”时，往往需要使用“直接除法”。

四。如果两个分数非常接近，我们甚至需要重复使用两次“差值法”。这种情况比较复杂，但是如果我们巧妙运用，也可以大大简化计算。

[示例1]比较7/4和9/5的尺寸

【解析】用“差值法”比较两个分数的大小关系:

大分数和小分数

9/5 7/4

9-7/5-1 = 2/1(分数很低)

根据:差分= 2/1 > 7/4 =小分

所以:大分数= 9/5 > 7/4 =小分数。

李伟明建议道:

使用“差分法”时，记得在“大分”边上写上“差分”，因为它代替了“大分”，然后再与“小分”进行比较。

[示例2]比较32.3/101和32.6/103的尺寸

【解析】用“差值法”比较两个分数的大小关系:

小分数和大分数

32.3/101 32.6/103

32.6-32.3/103-101 = 0.3/2(差分数)

根据:差分= 0.3/2 = 30/200 < 32.3/101 =小分(这里用“同法”)。

因此，大分数= 32.6/103 < 32.3/101 =小分数。

【注意】当这道题大于差分数和小分数时，也可以用直接除法。读者不妨自己尝试一下。

李伟明建议(“差别法”原理):

以例2为例，我们来解释一下“差分法”是如何工作的。首先看下图:

上图显示了一个简单的过程:将2号溶液倒入1号溶液中，它就变成了3号溶液。其中，1号溶液的浓度为“小馏分”，3号溶液的浓度为“大馏分”，2号溶液的浓度为“差馏分”。显然，我们只需要知道倾倒过程是“稀释”还是“增稠”，就可以比较1号溶液和3号溶液的浓度，所以我们只需要比较2号溶液和1号溶液的浓度。

【例3】对比29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的尺寸。

【解析】用“差值法”比较两个分数的大小关系:

29320.04/4126.37 29318.59/4125.16

1.45/1.21

根据:显然，差分= 1.45/1.21 < 2 < 29318.59/4125.16 =小分。

所以大分= 29320.04/4126.37 < 29318.59/4125.16 =小分。

【注意】此题在差分数和小分数较大的情况下，也可以使用“直除”(本质上相当于插入一个“2”)。

[例4]下表显示了三个省省会城市(分别为A、B、C城市)2006年的GDP及其增长情况。请根据表中提供的数据回答:

1.2005年B和C的GDP哪个更高？

2.A和C所在的省份2006年GDP哪个更高？

GDP(亿元)
GDP增速
占全省比重

某市
873.2
12.50%
23.9%[/br

【解析】I、B、C城市2005年GDP分别为984.3/1+7.8%和1093.4/1+17.9%；观察特征(分子和分母都有点不同)我们用“差分法”:

984.3/1+7.8% 1093.4/1+17.9%

109.1/10.1%

用直接除法，很明显差分= 109.1/10.1% > 1000 > 984.3/1+7.8% =小分，所以大分>小分。

所以B、C两个城市2005年的GDP都是C市高。

2.A和C所在省份2006年GDP分别为873.2/23.9%和1093.4/31.2%；我们还使用“差异法”进行比较:

873.2/23.9% 1093.4/31.2%

220.2/7.3%=660.6/21.9%

212.6/2%=2126/20%

上述过程中我们用了两次“差法”，很明显:2126/20% > 660.6/21.9%，所以873.2/23.9% > 1093.4/31.2%；

所以2006年，A市所在省份的GDP更高。

【例5】对比32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的尺寸。

【解析】32053.3和32048.2很像，23487.1和23489.1也很像。所以在使用估计法或者截断法进行比较时，误差可能会比较大。所以可以考虑先变形，再用“差值法”，也就是把32053.3×23487.1和32048.2× 23488进行比较。

32053.3/23489.1 32048.2/23487.1

5.1/2

根据:差分= 5.1/2 > 2 > 32048.2/23487.1 =小分。

所以大分= 32053.3/23489.1 > 32048.2/23487.1 =小分。

类型:32053.3×23487.1 > 32048.2×23489.1

李伟明建议(乘法“差法”):

比较a×b和A′×B′的大小，如果A和A′的差很小，B and B′的差也很小，那么乘法a×b和A′×B′的比较就可以转化为除法AB′和A′B的比较，然后用差分法来解决我们类似的乘法问题。当我们“化除为乘”时，可以遵循以下原则来保证等号的方向不变:

“化除为乘”原则：相乘即交叉。 位律师回复