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admin 百科大全 2022-12-28 16:00:26

圆与圆位置关系——相切问题

圆与圆位置关系——相切问题,第2张

圆与圆位置关系——相切问题,第3张

圆与圆位置关系——相切问题,第4张

两圆相切或两圆只有一个公共点，需分为两种情况，即两圆内切或两圆外切。对于圆与圆的位置关系，需要找准圆心距、两圆的半径和差之间的数量关系。当两圆内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值；当两圆外切时，圆心距等于两圆半径和。

圆与圆位置关系——相切问题,第6张

两圆相切问题

圆与圆位置关系——相切问题,第7张

对于两圆相切问题，只需要找准圆心距和两圆半径和差的数量关系即可。当两圆内切时，d=|R1-R2|，当两圆外切时，d=R1+R2。

01

两圆相切问题的简单应用

02

在函数和三角形背景的应用

对于二次函数或者三角形背景的问题，同样只要找准三个量的关系即可。一般来说，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求得圆心距的长度。

圆与圆位置关系——相切问题,第10张

圆与圆位置关系——相切问题,第10张

解法分析：本题的第一问由题设：圆P与直线BC相切，则过点P作BC的垂线PH，利用X型基本图形，导出AB、CD和PH的数量关系。

本题的第二问考察了圆与圆的位置关系，其突破口在圆心距、两圆半径和差的数量关系的比较。常见的辅助线添线方法即为联结两圆的圆心，利用勾股定理求出圆心距，再去比较圆心距和两圆半径和差的大小关系。

本题的第三问不是在AB=3，CD=5这样的背景下的，因此在解决本问时，建议设AB、CD为字母系数进行计算。本问以两圆外切为背景，证明▲ABC与▲BCD相似，还是围绕圆心距和两圆半径和进行展开。由于这两个三角形都是直角三角形，因此可以从判定1和判定2判定证明相似。

03

在“动圆”背景下的应用

对于“运动”背景下的两圆相切问题，还是找准圆心距、半径和差间的数量关系，对于运动的路程可以用字母表示，从而利用方程思想求出未知数的值。

圆与圆位置关系——相切问题,第10张

圆与圆位置关系——相切问题,第20张

圆与圆位置关系——相切问题,第6张

三圆相切问题

圆与圆位置关系——相切问题,第7张

对于三个圆相切的问题，在两圆相切问题上更进了一步，但是问题解决的关键还是在于抓住圆心距、任意两圆的半径和差间的数量关系。相较于两圆相切问题更加灵活，但是问题解决的方法和路径还是不变的。

01

三个圆两两相切的问题

以沪教版教材27.5(1)的例题2为例，三个圆两两外切，因此任意两圆的圆心距等于这两个圆的半径和，列出三个方程即可求出三个圆的半径。

以这道题为雏形，进行变式即可得到2019上海中考选择题第6题，只要找准圆心距、半径和差间的数量关系，不需要画图就可以得到一系列数量关系：

圆与圆位置关系——相切问题,第24张

对于“动圆”问题，还是根据题意找准圆心距、半径和差间的数量关系。同时结合图形的特点，借助勾股定理、锐角三角比、相似三角形等进行计算。

02

三个圆与直线相切的问题

对于三个圆相切以及圆与直线相切问题，除了找准圆心距和半径和差间的数量关系，还需要紧扣切线的性质，利用这些性质一齐解决问题。

以沪教版练习27.5(3)第5题为例，三个圆两两相切，同时线段AB与两小圆相切，因此常见的辅助线的添线方法就是联结圆心，过圆心作切线的垂线，从而构造直角三角形，助力问题解决。

对于练习册中的这道练习有下面两道变式：

同时对于三个圆相切的问题也需要进行分类讨论，根据题意画出图形，再进行计算。

圆与圆位置关系——相切问题,第20张

圆与圆位置关系——相切问题,第31张

圆与圆位置关系——相切问题,第32张

END

圆与圆位置关系——相切问题,第33张

圆与圆位置关系——相切问题,第34张

圆心半径关系

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